Martti Puolakainen inledde sin fotbollskarriär i FC Honkas juniorer, där han spelade ända fram till 2011 innan han flyttade till Grankulla IFK. Han tog positionen som förstamålvakt för GrIFK:s A-pojkar under sin första säsong i Grankulla och hölls kvar som etta ända fram till slutet av säsongen 2013. Under tiden i GrIFK fick han även spela en match i Tvåan med herrlaget i september 2012. Dessutom var Puolakainen under sina år som junior ett regelbundet förekommande namn i hemlandet Estlands ungdomslandslag.

Inför säsongen 2014 flyttade Puolakainen till FC Viikingits representationslag i Ettan. Det var en mycket svår säsong, då laget endast tog sex poäng och en seger under hela säsongen. Puolakainen själv spelade nio matcher i Ettan under den sommaren. Viikingit föll ner till Tvåan och Puolakainen åkte till Estland för nya utmaningar där.

Han skrev på ett kontrakt med JK Viljandi Tulevik i den estniska ligan och spelade där hela säsongen 2015. Det blev 12 Meistriliigamatcher och två matcher i den estniska cupen, där Tulevik tog sig ända till åttondelsfinalerna. Säsongen började hyfsat och i juni lyckades laget besegra Tallinnlaget Nõmme Kalju, som är en av de största klubbarna i Estland. Puolakainen stod i Tuleviks mål i den matchen. Slutdelen av säsongen var ändå dålig i och med att Tulevik endast lyckades vinna en av de 20 sista matcherna. Den dåliga slutsäsongen innebar att laget blev degraderat från Meistriliiga och Puolakainen valde att återvända till Finland. Han flyttade till EsPa i Tvåan, men spelade slutligen inga matcher för Esbolaget.

Innan Puolakainen kom till HIFK sommaren 2019 spelade han två säsonger i HooGee från Esbo i division 3. Under de senaste åren har han utöver sitt eget spelande även börjat jobba som tränare. I HIFK har Puolakainen varit med som stjärntränare i HIFK:s Träna Med Stjärnorna -specialträningsprogram.